Nick (biglebowsky) wrote,
Nick
biglebowsky

Category:

Формула де Борда

В связи с комментариями к предыдущему обсуждению.
Я уже об этом писал в своем журнале (http://biglebowsky.livejournal.com/7813.html), но повторюсь.

Пусть нет гравитации.
Пусть по некой трубе течет вода (или воздух), эта труба внезапно расширяется.
Что будет с давлением?

На небольшом расстоянии после расширения трубы - давление НИКАК НЕ ИЗМЕНИТСЯ.
У тех, кто изучал в школе формулу Бернулли и этим в изучении физики ограничился, такой тезис должен вызвать глубочайшее изумление: "Как же так?! Труба расширилась, средняя скорость должна упасть, давление просто обязано возрасти!!!"




Приблизительно так обычно выглядет перетекание воды из узкой части трубы в широкую в случае резкого расширения. Получается узкий поток воды ("затопленная струя"), движущийся с прежней скоростью, и "застойные" зоны, в которых вода циркулирует (то есть, часть воды течет назад). Надо понимать, что "средняя скорость", посчитанная по всему сечению трубы, напоминает известный анекдот о средней температуре по больнице.
Так как в "затопленная струе" скорость никак не менялась, то и у давления нет ни малейших причин измениться.
Любопытно, что осесимметричное положение "струи" неустойчиво, она будет "хотеть" прижаться к какой-нибудь стенке.

-----------------------------------------------------------------
Примечание. Если очень постараться, и делать расширение очень-очень плавным, то весь поток при расширении сумеет более-менее равномерным образом замедлиться (без образования "застойных" зон), и все получится более-менее "по Бернулли".
-----------------------------------------------------------------

А что будет дальше, ниже по течению трубы?
Из-за вязкого трения о медленно движущуюся воду скорость "затопленной струи" начнет постепенно падать (а сама струя - расширяться). Не спешите радоваться падению скорости. Формула Бернулли связывает скорость и давление только при отутствии механических потерь. Если захотим, то, использовав трение, мы всегда можем затормозить воду без какого-либо повышения давления.
Тем не менее, в обсуждаемой задачке давление ниже по трубе начнет возрастать, и дорастет до некой величины. Однако, это величина будет меньше, чем обещает формула Бернулли.

Любопытно, что если расширение строго "ступенькой", с прямыми углами, то итоговое давление легко посчитать аналитически.

Узкая часть трубы
площадь S1
скорость v1
давление P1 (статическое)

И еще, для красивого вида формул, мне будет удобно ввести такую штуку, как скоростной_напор1 = 1/2 * плотность * v12

Широкая часть трубы на значительном удалении от места расширения.
площадь S2
скорость v2
давление P2 (статическое)


Труба расширилась в S2/S1 раз. Для записи формул, чтобы не плодить дробей, мне будет удобно ввести обратную этому расширению величину K=S1/S2.
К примеру, v2=K*v1

Формула Бернулли выглядит так.
статическое_давление1 + скоростной_напор1 = статическое_давление2 + скоростной_напор2

Физик де Борда, современник Бернулли, "расширил" эту формулу, введя потери механической энергии. (Кстати, по этому принципу можно механическую энергию и добавлять, если в гидравлической схеме есть насосы.)

статическое_давление1 + скоростной_напор1 = статическое_давление_2 + скоростной_напор2 + потери_давления

В задачке о внезапном "ступенькой" расширениии трубы
потери_давления = скоростной_напор1*(1-K2)

К примеру, если диаметр трубы возрастет в 3.16 раза, то площадь возрастет в 10 раз, и 99% скоростного напора "улетят" в "механические потери".

В задачке о внезапном "ступенькой" расширениии трубы формулу можно записать и так
P2 = P1 + скоростной_напор1*2*(K-K2)

Для примера с десятикратным увеличением сечения
P2 = P1 + 0,18 * скоростной_напор1
А если бы попытались посчитать "по Бернулли", то получилось бы
P2 =ошибочно= P1 + скоростной_напор1*(1-K^2),
и для десятикратного увеличения сечения
P2 =ошибочно= P1 + 0,99*скоростной_напор1


Пример на бытовом уровне.
В водопроводной трубе находится вода под избыточным давлением 6 атм. Мы чуть-чуть приотрываем кран (чтобы упростить расчеты и полагать, что вода в трубах будет течь очень медленно) и наполняем ванну. Скорость воды в трубах почти ноль, скорость воды в ванне приблизительно ноль (уровень воды в ванне поднимается медленно). Я в данной заметке пытался объяснить, что было бы неоправданным оптимизмом применить к такой задачке формулу Бернулли и заявить, что в ванне получится избыточное давление в 6 атм.

Ссылка по теме
http://edu.tltsu.ru/er/book_view.php?book_id=1406&page_id=10938

Примечание.

Многие процессы в аэродинамике / гидродинамике в некотором смысле несимметричны. Например, легко погасить свечу, дуя на нее, но весьма сложно, втягивая в себя воздух.
Так вот, на внезапных сужениях потери давления много меньше, чем на внезапных расширениях. А если постараться и сделать сужение более-менее плавным, то потери будут околонулевыми, и с высокой степенью точности можно пользоваться формулой Бернулли.
То есть, если кому-то захочется проиллюстрировать формулу Бернулли картинкой, то нужно рисовать СУЖЕНИЕ трубы.
И ни в коем случае не рисовать расширение трубы, потому как.
Скорее всего, расширение будет недостаточно плавным для безотрывного течения потока.
А если расширение будет достаточно плавным, то тогда.
1) Картинка потеряет в наглядности.
2) Нужно будет страниц десять рассуждать о том, а почему, собственно, может не быть срыва потока. Говорить о вязкости, вводить понятие пограничного слоя, рассуждать об эффекте Коанды, вводить число Рейнольдса... Причем подчеркну - эти десять страниц текста не пообещают, что срыва потока на самом деле не будет. Всего лишь - что не обязательно будет.
Так выглядит картинка из Википедии по поводу формулы Бернулли.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Закон_Бернулли


Жидкость течет слева направо.
Полагаю, даже массовые публичные расстрелы не помогут.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic
    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments